Qu'est-ce qu'un vecteur et quelles sont ses caractéristiques?

Un vecteur c'est une quantité ou un phénomène qui a deux propriétés indépendantes: l'ampleur et la direction. Le terme désigne également la représentation mathématique ou géométrique d'une telle quantité.

Des exemples de vecteurs dans la nature sont la vitesse, la force, les champs électromagnétiques et le poids. Une quantité ou un phénomène qui ne montre que la magnitude, sans direction spécifique, est appelé scalaire.

Des exemples de scalaires incluent la vitesse, la masse, la résistance électrique et la capacité de stockage du disque dur.

Les vecteurs peuvent être représentés graphiquement en deux ou trois dimensions. La magnitude est représentée par la longueur d'un segment. La direction est indiquée par l'orientation du segment et par une flèche à une extrémité.

L'illustration ci-dessus montre trois vecteurs en coordonnées rectangulaires bidimensionnelles (le plan cartésien) et leurs équivalents en coordonnées polaires.

Les vecteurs en physique

En physique, lorsque vous avez un vecteur, vous devez prendre en compte deux grandeurs: sa direction et son ampleur. Les quantités qui ont une seule grandeur sont appelées scalaires. Si une direction est donnée à une quantité scalaire, un vecteur est créé.

Visuellement, les vecteurs sont vus comme des flèches, ce qui est parfait car une flèche a une direction claire et une magnitude claire (la longueur de la flèche).

Dans la figure suivante, la flèche représente un vecteur qui commence au pied de la flèche (également appelée la queue) et se termine à la tête.

En physique, une police en gras est généralement utilisée pour représenter un vecteur, même si elle peut également être représentée par une lettre avec une flèche.

La flèche signifie qu'il ne s'agit pas seulement d'une valeur scalaire, qui serait représentée par A, mais aussi de quelque chose avec une direction.

Différences entre vecteur et scalaire

Les valeurs qui ne sont pas des vecteurs sont scalaires. Par exemple, une quantité de 500 pommes est un scalaire, n’a pas de direction, n’est qu’une grandeur. Le temps est aussi un scalaire, il n'a pas de direction.

Cependant, la vitesse est un vecteur car elle spécifie non seulement une magnitude (la vitesse) de l'itinéraire, mais indique également la direction (et la direction) de l'itinéraire.

Par exemple, la ligne d’action du vecteur vitesse peut

être à 30 ° de l'horizontale. Par conséquent, nous savons dans quelle direction l'objet bouge.

Cependant, cela ne précise toujours pas la direction du voyage, qu’il s’éloigne ou se rapproche de nous. Par conséquent, nous spécifions également la direction dans laquelle le vecteur agit à travers une pointe de flèche.

La force, l’accélération et la distance parcourue sont également des vecteurs. Par exemple, dire qu'une voiture a bougé de 10 mètres n'indique pas dans quelle direction elle a bougé. Pour spécifier complètement le mouvement, il est également nécessaire de spécifier la direction et la direction du mouvement.

La force est aussi un vecteur car si vous tirez un objet vers vous, il se rapproche de vous et si vous poussez l'objet, il s'éloigne de vous. La force a donc une direction et un sens et, par conséquent, c'est un vecteur.

Exemple

En tant qu'exemples des informations fournies par un vecteur, nous disposons des éléments suivants:

Rechercher un sac en or

Supposons qu'un enseignant vous dise: "Un sac d'or est en dehors de la classe, pour le trouver, déplacez-vous 20 mètres." Cette déclaration vous intéressera sûrement, cependant, la déclaration ne contient pas suffisamment d’informations pour trouver le sac en or.

Le déplacement nécessaire pour trouver le sac en or n'a pas été complètement décrit. Par contre, supposons que votre professeur vous dise: "Un sac d’or est situé à l’extérieur de la classe, pour le trouver se déplacer du centre de la porte de la classe à 20 mètres à l’ouest du nord."

Cette déclaration fournit maintenant une description complète du vecteur de déplacement, qui indique la magnitude (20 mètres) et la direction (30 ° à l'ouest du nord) par rapport à une position de référence ou de départ (le centre de la porte de classe). ).

Les quantités de vecteurs ne sont pas entièrement décrites, à moins que l'amplitude et la direction ne soient indiquées.

Déplacement de voiture

Lorsque nous nous déplaçons dans une voiture, nous utilisons différents vecteurs. Ces vecteurs apparaissent chaque fois que nous changeons de vitesse.

Lorsque nous accélérons pour dépasser une autre voiture, nous ajoutons des variables de direction et de vitesse qui constituent un nouveau vecteur.

Par contre, lorsque l'on veut diminuer la vitesse, on soustrait des vecteurs correspondant à ladite décélération.

Dans un autre sens, lorsque nous inversons sans changer la vitesse, nous modifions le sens du vecteur qui émerge du mouvement de la voiture.

Ouvre une porte

Lorsque nous ouvrons une porte, nous utilisons plusieurs vecteurs. Tout d'abord, nous devons imprimer une force dans une direction donnée pour tourner le bouton de la porte, puis nous devons pousser la porte dans une direction donnée, en imprimant une force.

Ces valeurs de force et de direction correspondent aux vecteurs utilisés pour ouvrir une porte. Le processus de fermeture d'une porte générera un nouveau vecteur, dans lequel sa valeur sera négative par rapport à celle initialement donnée pour l'ouvrir.

Déplacer une boite

Lorsque l'on veut pousser une boîte très lourde, il faut exercer une force sur sa surface latérale. Cette force doit être exercée dans une direction pour que la boîte puisse bouger.

Dans ce cas, le vecteur résulte de la combinaison de force et de direction appliquée pour déplacer la boîte.

Si la force n'est pas utilisée pour pousser la boîte, mais pour la soulever verticalement, un nouveau vecteur apparaîtra.

Ce vecteur sera formé par l'axe vertical sur lequel la boîte est levée et la force appliquée pour le soulever.

Déplacer une tuile d'échecs

Comme dans l'exemple précédent, une tuile d'échecs peut être déplacée sur la surface de la table - dans une direction donnée et, en appliquant une force spécifique - pour modifier sa position sur le tableau, générant un vecteur.

Il peut également être retiré du tableau, générant un nouveau vecteur dans une direction verticale.

Appuyez sur un bouton

Un botó sera pressé dans une seule direction, donné par le même système qui contient le bouton.

Pour appuyer sur ce bouton, il est nécessaire d'appliquer une force avec le doigt. À partir de l'exercice de ce mouvement, il en résultera un vecteur.

Jouer au billard

L'action de frapper une boule de billard avec la queue en bois se traduit immédiatement par un vecteur, car elle a l'effet de deux grandeurs: la force et la direction.

Une force sera appliquée à la boule de billard pour la déplacer dans une direction particulière. La boule de billard sur la table aura un sens établi précédemment, qui dépendra de la décision du joueur.

Tirant une voiture de jouet

Lorsqu'un enfant prend sa petite voiture et la tire d'une corde ou la manipule simplement avec ses mains, il va générer de nombreux vecteurs.

Chaque fois que l'enfant change la vitesse ou la direction dans laquelle la voiture se déplace, cela crée un nouveau vecteur.

Les variables du vecteur, dans ce cas, seraient composées de l'énergie que l'enfant applique à la voiture et de la direction dans laquelle il souhaite la déplacer.

Représentation de vecteurs

Les grandeurs vectorielles sont souvent représentées par des diagrammes vectoriels mis à l'échelle.

Les diagrammes vectoriels représentent un vecteur en utilisant une flèche dessinée à l'échelle dans une direction spécifique. Un diagramme vectoriel approprié doit avoir plusieurs caractéristiques:

• Une échelle est clairement répertoriée.
• Une flèche vectorielle est dessinée (avec une pointe de flèche) dans une direction spécifique. La flèche du vecteur a une tête et une queue.
• La magnitude et la direction du vecteur sont clairement étiquetées.

Adresse d'un vecteur

Les vecteurs peuvent être orientés vers l'est, l'ouest, le sud et le nord. Mais certains vecteurs sont dirigés vers le nord-est (à un angle de 45 °). Par conséquent, il est clairement nécessaire d'identifier la direction d'un vecteur qui ne dépend pas du nord, du sud, de l'est ou de l'ouest.

Il existe une variété de conventions pour décrire la direction de n'importe quel vecteur. Cependant, seules deux d'entre elles seront expliquées ci-dessous.

1-La direction d'un vecteur est souvent exprimée sous la forme d'un angle de rotation du vecteur autour de sa "queue" vers l'est, l'ouest, le nord ou le sud.

Par exemple, on peut dire qu'un vecteur a une adresse de 40 ° au nord de l'ouest (ce qui signifie qu'un vecteur pointant vers l'ouest a été tourné de 40 ° vers le nord) ou qu'il a une direction de 65 ° à l'est du sud (ce qui signifie qu'un vecteur pointant vers le sud a pivoté de 65 ° vers l'est).

2-La direction d'un vecteur est souvent exprimée sous la forme d'un angle de rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre du vecteur. En utilisant cette convention, un vecteur avec une direction de 30 ° est un vecteur qui a été tourné de 30 ° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre par rapport à l'est.

Un vecteur avec une direction de 160 ° est un vecteur qui a été tourné de 160 ° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre par rapport à l'est. Un vecteur avec une direction de 270 ° est un vecteur qui a été pivoté de 270 ° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre par rapport à l'est.

Magnitude d'un vecteur

La magnitude d'un vecteur dans un diagramme vectoriel mis à l'échelle est représentée par la longueur de la flèche. La flèche est dessinée avec une longueur précise selon une échelle choisie.

Par exemple, si vous voulez dessiner un vecteur d'une magnitude de 20 mètres, vous pouvez choisir une échelle de 1 cm = 5 mètres et dessiner une flèche d'une longueur de 4 cm.

En utilisant la même échelle (1 cm = 5 mètres), un vecteur de déplacement de 15 mètres sera représenté par une flèche vectorielle de 3 cm de long.

De même, un vecteur de déplacement de 25 mètres est représenté par une flèche de 5 cm de longueur. Et enfin, un vecteur de déplacement de 18 mètres est représenté par une flèche de 3,6 cm de longueur.

Autres caractéristiques des vecteurs

Égalité: on dit que deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même ampleur et la même direction. De manière équivalente, ils seront égaux si leurs coordonnées sont égales.

Opposition: deux vecteurs sont opposés s'ils ont la même amplitude mais une direction opposée.

Parallels: deux vecteurs sont parallèles s'ils ont la même direction mais pas nécessairement la même grandeur, ou antiparallèles s'ils ont la direction opposée mais pas nécessairement la même amplitude.

Unité de vecteur: un vecteur unitaire est un vecteur d'une longueur d'un.

Vecteur zéro: le vecteur zéro est le vecteur de longueur nulle. Contrairement à tout autre vecteur, il a une direction arbitraire ou indéterminée et ne peut pas être normalisé

Références

1. Jong IC, BG Rogers. Mécanique d'ingénierie: statique (1991). Saunders College Publishing.
2. Ito K. Encyclopedic Dictionary of Mathematics (1993). MIT Press.
3. Ivanov AB. Encyclopédie des mathématiques (2001). Springer.
4. Kane T, Levinson D. Dynamics Online (1996). Sunnyvale: Dynamique OnLine.
5. Lang S. Introduction à l'algèbre linéaire (1986). Springer.
6. Principes d'ingénierie de Niku S. dans la vie quotidienne pour les non-ingénieurs (2016). Morgan et Claypool.
7. Pedoe D. Géométrie: un cours complet (1988). Douvres