Qu'est ce que le Gravicentro? (avec des exemples)

Le gravicentro est une définition largement utilisée en géométrie lorsque vous travaillez avec des triangles.

Pour comprendre la définition du gravicentro, il faut d'abord connaître la définition des "médianes" d'un triangle.

Les médianes d'un triangle sont les segments de ligne qui commencent à chaque sommet et atteignent le milieu du côté opposé à ce sommet.

Le point d'intersection des trois médianes d'un triangle s'appelle un barycenter ou est également appelé gravicentro.

Il ne suffit pas de connaître la définition, il est intéressant de savoir comment ce point est calculé.

Calcul du Barycenter

Etant donné un triangle ABC avec le sommet A = (x1, y1), B = (x2, y2) et C = (x3, y3), a la gravicentro est l'intersection des trois médianes de triangle.

Une formule rapide qui permet de calculer le gravicentro d'un triangle, en connaissant les coordonnées de ses sommets, est:

G = ((x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3).

Avec cette formule, vous pouvez connaître l'emplacement du gravicentro dans le plan cartésien.

Caractéristiques du Gravicentro

Il n'est pas nécessaire de dessiner les trois médianes du triangle, car en dessinant deux d'entre elles, il sera évident où se trouve le gravicentro.

Le gravicentro divise chaque médiane de 2 parties dont le rapport est 2: 1, à savoir, les deux segments de chaque support sont divisés en segments de longueur 2/3 et 1/3 de la longueur totale, étant la plus grande distance que entre le sommet et le gravicentro.

L'image suivante illustre le mieux cette propriété.

La formule pour calculer le gravicentro est très simple à appliquer. La manière d'obtenir cette formule est de calculer les équations de ligne qui définissent chaque médiane et de trouver ensuite le point de coupure desdites lignes.

Des exercices

Vous trouverez ci-dessous une petite liste de problèmes concernant le calcul du barycenter.

1.- Étant donné un triangle de sommets A = (0,0), B = (1,0) et C = (1,1), calculer le gravicentro dudit triangle.

En utilisant la formule donnée, on peut rapidement conclure que le gravicentro du triangle ABC est:

G = ((0 + 1 + 1) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (2/3, 1/3).

2.- Si un triangle a des sommets A = (0,0), B = (1,0) et C = (1 / 2,1), quelles sont les coordonnées du gravicentro?

Puisque les sommets du triangle sont connus, la formule de calcul du gravicentro est appliquée. Par conséquent, le gravicentro a des coordonnées:

G = ((0 + 1 + 1/2) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (1/2, 1/3).

3.- Calculez les gravicentros possibles pour un triangle équilatéral tel que deux de ses sommets sont A = (0,0) et B = (2,0).

Dans cet exercice, seuls deux sommets du triangle sont spécifiés. Pour trouver des gravicenters possibles, il faut d'abord calculer le troisième sommet du triangle.

Puisque le triangle est équilatéral et que la distance entre A et B est 2, le troisième sommet C doit être à la distance 2 de A et B.

En utilisant le fait que, dans un triangle équilatéral coïncide avec la hauteur de la médiane et également en utilisant le théorème de Pythagore, on peut conclure que les options pour les coordonnées du troisième sommet sont C1 = (1, √3) ou C2 = (1 - √3).

Donc les coordonnées des deux gravicentros possibles sont:

G1 = ((0 + 2 + 1) / 3 (0 + 0 + √3) / 3) = (3/3, √3 / 3) = (1, √3 / 3),

G2 = ((0 + 2 + 1) / 3 (0 + 0-√3) / 3) = (3/3, -√3 / 3) = (1, -√3 / 3).

Grâce aux comptes rendus précédents, on peut également noter que la médiane était divisée en deux parties dont la proportion est de 2: 1.

Références

1. Landaverde, F. d. (1997). La géométrie (Réimpression éd.). Progrès
2. Leake, D. (2006). Triangles (éd. illustré). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, C. D. (2006). Précalcul Pearson Education.
4. Ruiz, Á. & Barrantes, H. (2006). Géométries Technologie CR
5. Sullivan, M. (1997). Précalcul Pearson Education.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonométrie et géométrie analytique. Pearson Education.