Propriétés de produit croisées, applications et exercices résolus



Le produit croisé ou vecteur de produit C'est un moyen de multiplier deux vecteurs ou plus. Il y a trois façons de multiplier les vecteurs, mais aucune de ces méthodes n'est une multiplication au sens habituel du terme. L'une de ces formes est connue sous le nom de produit vectoriel, ce qui donne un troisième vecteur.

Le produit vectoriel, également appelé produit croisé ou produit externe, possède des propriétés algébriques et géométriques différentes. Ces propriétés sont très utiles, notamment dans l'étude de la physique.

Index

  • 1 définition
  • 2 propriétés
    • 2.1 Propriété 1
    • 2.2 Propriété 2
    • 2.3 Propriété 3
    • 2.4 Propriété 4 (produit scalaire triple)
    • 2.5 Propriété 5 (produit triple vecteur)
    • 2.6 Propriété 6
    • 2.7 Propriété 7
    • 2.8 Propriété 8
  • 3 applications
    • 3.1 Calcul du volume d'un parallélépipède
  • 4 exercices résolus
    • 4.1 Exercice 1
    • 4.2 Exercice 2
  • 5 références

Définition

Une définition formelle du produit vectoriel est la suivante: si A = (a1, a2, a3) et B = (b1, b2, b3) sont des vecteurs, puis le produit vectoriel de A et B, qui désignent comme AxB, est la suivante:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

En raison de la notation AxB, il est lu comme "une croix B".

Un exemple d'utilisation du produit extérieur est que si A = (1, 2, 3) et B = (3, -2, 4) sont des vecteurs, alors en utilisant la définition du produit vectoriel, nous avons:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4 * 1 (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Une autre façon d'exprimer le produit vectoriel est donnée par la notation déterminante.

Le calcul d'un déterminant de second ordre est donné par:

Par conséquent, la formule du produit vectoriel donnée dans la définition peut être réécrite comme suit:

Ceci est généralement simplifié dans un déterminant de troisième ordre comme suit:

Où i, j, k représentent les vecteurs qui forment la base de R3.

En utilisant cette manière d'exprimer le produit croisé, nous avons l'exemple précédent qui peut être réécrit comme suit:

Propriétés

Certaines propriétés du produit vectoriel sont les suivantes:

Propriété 1

Si A est un vecteur dans R3, nous devons:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Ces propriétés sont faciles à vérifier en utilisant uniquement la définition. Si A = (a1, a2, a3) il faut:

XH = (A2A3 - A3A2, A3a1 - A1A3, A1A2 - A2A1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Si i, j, k représente la base unitaire de R3, nous pouvons les écrire comme suit:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Ensuite, nous devons remplir les propriétés suivantes:

En tant que règle mnémonique, pour retenir ces propriétés, le cercle suivant est généralement utilisé:

Il convient de noter que tout vecteur avec lui-même donne le vecteur 0 et que le reste des produits peut être obtenu avec la règle suivante:

Le produit croisé de deux vecteurs consécutifs dans le sens des aiguilles d'une montre donne le vecteur suivant; et en considérant le sens antihoraire, le résultat est le vecteur suivant avec un signe négatif.

Grâce à ces propriétés, nous pouvons voir que le produit vectoriel n'est pas commutatif; par exemple, il suffit de remarquer que i x j ≠ j x i. La propriété suivante nous indique comment AxB et BxA sont liés en général.

Propriété 2

Si A et B sont des vecteurs R3, nous devons:

AxB = - (BxA).

Démonstration

Si A = (a1, a2, a3) et B = (b1, b2, b3), par définition de produit externe on a:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Nous pouvons également observer que ce produit n'est pas associatif avec l'exemple suivant:

ix (ixj) = ixk = - j mais (ixi) xj = 0xj = 0

De cela, nous pouvons observer que:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Propriété 3

Si A, B, C sont des vecteurs R3 et r est un nombre réel, ce qui suit est vrai:

- Axe (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Axe (rB)

Grâce à ces propriétés, nous pouvons calculer le produit vectoriel en utilisant les lois de l'algèbre, à condition que l'ordre soit respecté. Par exemple:

Si A = (1, 2, 3) et B = (3, -2, 4), on peut les réécrire selon la base canonique de R3.

Ainsi, A = i + 2j + 3k et B = 3i - 2j + 4k. Ensuite, en appliquant les propriétés précédentes:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (IXI) - 2 (IXJ) + 4 (IXK) + 6 (JXI) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) 12 (kxk)

3 = (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) 12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Propriété 4 (produit scalaire triple)

Comme nous l'avons mentionné au début, il existe d'autres moyens de multiplier les vecteurs en plus du vecteur. L'un de ces moyens est le produit scalaire ou produit interne, qui est noté A ∙ B et dont la définition est:

Si A = (a1, a2, a3) et B = (b1, b2, b3), alors B = A1B1 A2B2 + A ∙ + A3B3

La propriété qui concerne les deux produits est connue sous le nom de produit scalaire triple.

Si A, B et C sont des vecteurs R3, alors A ∙ BxC = AxB ∙ C

A titre d'exemple voir que, étant donné A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) et C = (- 5, 1 - 4), ladite propriété est vérifiée.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

D'autre part:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1 - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) (7) (- 4) = - 74

Un autre triple produit est Ax (BxC), appelé produit à triple vecteur.

Propriété 5 (produit triple vecteur)

Si A, B et C sont des vecteurs R3, ensuite:

Hache (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

A titre d'exemple voir que, étant donné A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) et C = (- 5, 1 - 4), ladite propriété est vérifiée.

De l'exemple précédent, nous savons que BxC = (- 18, - 22, 17). Calculons Ax (BxC):

Ax (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Par contre, il faut:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1 - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (2) - (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Donc, nous devons:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5 1 - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, -4)

Propriété 6

C'est l'une des propriétés géométriques des vecteurs. Si A et B sont deux vecteurs dans R3 et Θ est l'angle formé entre ceux-ci, alors:

|| AxB || = || A |||| B || sin (Θ), où || ∙ || désigne le module ou l'amplitude d'un vecteur.

L’interprétation géométrique de cette propriété est la suivante:

Soit A = PR et B = PQ. Ensuite, l'angle formé par les vecteurs A et B est l'angle du triangle P RQP, comme représenté sur la figure suivante.

Par conséquent, l'aire du parallélogramme dont les côtés adjacents PR et PQ est || péché d'A || B (Θ), peut déjà être prise comme base || A || et sa hauteur est donnée par || B || sin (Θ).

Pour cela, nous pouvons conclure que || AxB || est l'aire dudit parallélogramme.

Exemple

Étant donné les sommets suivants d'un P (1, -2,3), Q (4, 3, -1), R (2, 2,1) et S (5,7, -3) quadrilatérale, montrent que ledit quadrilatère C'est un parallélogramme et trouve son aire.

Pour cela, nous déterminons d'abord les vecteurs qui déterminent la direction des côtés du quadrilatère. C'est:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Comme nous pouvons voir A et C ont le même directeur vectoriel, nous avons donc que les deux sont parallèles; de la même manière que cela arrive avec B et D. Par conséquent, nous concluons que PQRS est un parallélogramme.

Pour avoir l'aire de ce parallélogramme, on calcule BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Par conséquent, la zone carrée sera:

|| BxA ||2 = (- 6)2 + (- 2)2 + (- 7)2 = 36 + 4 + 49 = 89.

On peut en conclure que l'aire du parallélogramme sera la racine carrée de 89.

Propriété 7

Deux vecteurs A et B sont parallèles dans R3 oui et seulement si AxB = 0

Démonstration

Il est clair que, si A et B sont le vecteur nul, il estime que AxB = 0. Comme le vecteur zéro est parallèle à tout autre vecteur, la propriété est valide.

Si aucun des deux vecteurs n'est le vecteur zéro, nous avons que leurs grandeurs sont différentes de zéro; c'est-à-dire les deux || A || ≠ 0 comme || B || ≠ 0, nous devrons donc || AxB || = 0 si et seulement si le péché (Θ) = 0, et cela se produit ssi Θ = Θ = π ou 0.

Par conséquent, nous pouvons conclure AxB = 0 ssi Θ Θ = π ou 0, ce qui ne se produit que lorsque les deux vecteurs sont parallèles.

Propriété 8

Si A et B sont deux vecteurs dans R3, alors AxB est perpendiculaire à la fois à A et à B.

Démonstration

Pour cette démonstration, rappelez-vous que deux vecteurs sont perpendiculaires si A ∙ B est égal à zéro. De plus, nous savons que:

A B AxB = AxA ∙ B, mais AxA est égal à 0. Nous devons donc:

A B AxB = 0 ∙ B = 0.

Nous pouvons en conclure que A et AxB sont perpendiculaires entre eux. De manière analogue, nous devons:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Comme BxB = 0, nous devons:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Par conséquent, AxB et B sont perpendiculaires entre eux et avec cela la propriété est démontrée. Ceci est très utile, car ils nous permettent de déterminer l’équation d’un plan.

Exemple 1

Obtenir une équation du plan passant par le P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) points et R (2, 1, 3).

Soit A = QR = (+ 2 à 3,1 3 au 2 février) et B = PR = (2 à 1.1 - 3. 3-2). Alors A = - i + 3j + k et B = i - 2j + k. Pour trouver le plan formé par ces trois points, il suffit de trouver un vecteur normal au plan, qui est AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2 j + k) = 5i + 2j - k.

Avec ce vecteur, et en prenant le point P (1, 3, 2), nous pouvons déterminer l'équation du plan de la façon suivante:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1 et - 3 z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Nous avons donc l'équation du plan est 5x + 2y - z - 9 = 0.

Exemple 2

Trouver l'équation du plan contenant le point P (4, 0, - 2) et perpendiculaire à chacun des plans x - y + z = 0 et 2x + y - 4z - 5 = 0.

Sachant qu'un vecteur normal à un axe de l'avion + by + cz + d = 0 (a, b, c), on a (1, -1,1) est un vecteur normal de x - y + z = 0 et ( 2,1, - 4), il est un vecteur normal de 2x + y - 4z - 5 = 0.

Ainsi, un plan vecteur normal recherché doit être perpendiculaire à (1, -1,1) et (2, 1-4). Ce vecteur est:

(1, -1,1) x (2,1 - 4) = 6j + 3k + 3i.

Ensuite, nous avons cherché le plan est que contenant le point P (4,0, - 2) et le vecteur (3,6,3) comme vecteur normal.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Applications

Calcul du volume d'un parallélépipède

Une application qui a le triple produit scalaire est capable de calculer le volume d'un parallélépipède dont les bords sont données par les vecteurs A, B et C, comme indiqué:

Cette application peut déduire la façon suivante: comme indiqué ci-dessus, le vecteur AxB est un vecteur qui est perpendiculaire au plan de A et B ont également le vecteur - (AxB) est un autre vecteur normal par rapport audit plan.

Nous choisissons le vecteur normal qui forme le plus petit angle avec le vecteur C; sans perte de généralité, être vecteur AxB dont l'angle C est le plus petit.

Nous avons que les deux AxB et C ont le même point de départ. Nous savons aussi que la zone du parallélogramme qui forme la base du parallélépipède est || || AxB. Par conséquent, si la hauteur du parallélépipède est donnée par h, nous avons le volume sera:

V = || AxB || h.

D'autre part, considérer le produit scalaire entre AxB et C, qui peut être décrit comme suit:

Cependant, les propriétés trigonométriques nous avons h = || C || cos (Θ), nous avons donc:

De cette façon, nous devons:

Dans l'ensemble, nous avons un volume parallélépipède est donnée par la valeur absolue du produit scalaire triple AxB ∙ C.

Exercices résolus

Exercice 1

Etant donné que les points P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) et S = (2, 6, 9), ces points forment un parallélépipède dont les arêtes Ils sont PQ, PR et PS. Détermine le volume dudit parallélépipède.

Solution

Si nous prenons:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

En utilisant la propriété du produit scalaire triple, nous devons:

Axb = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 80 = 52.

Nous avons donc besoin le volume du parallélépipède est 52.

Exercice 2

Déterminer le volume d'un parallélépipède dont les bords sont données par A = PQ, B = PR et C = PS, où les points P, Q, R et S sont (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) et (2, 2, 5), respectivement.

Solution

Tout d'abord on a A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Calculer AxB = (2, 2, -1) x (-1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Ensuite, nous calculons AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5-6 = 1.

Nous en concluons donc que le volume de parallélépipède dit est 1 unité cube.

Références

  1. Leithold, L. (1992). LE CALCUL avec la géométrie analytique. HARLA, S.A.
  2. Resnick, R. Halliday, D., & Krane, K. (2001). Physique Vol. Mexique: Continental.
  3. Saenz, J. (s.f.). Calcul vectoriel 1ed. Hypoténuse.
  4. Spiegel, M. R. (2011). Analyse vectorielle 2ed. Mc Graw Hill.
  5. Zill, D. G. et Wright, W. (2011). Calcul de diverses variables 4ed. Mc Graw Hill.