Mouvement pendulaire simple, mouvement harmonique simple

Un pendule est un objet (idéalement une masse ponctuelle) accroché par un fil (idéalement sans masse) d'un point fixe et qui oscille grâce à la force de gravité, cette mystérieuse force invisible qui, entre autres, reste collée à l'univers.

Le mouvement pendulaire est celui qui se produit dans un objet d'un côté à l'autre, suspendu à une fibre, un câble ou un fil. Les forces qui interviennent dans ce mouvement sont la combinaison de la force de gravité (verticale, vers le centre de la Terre) et de la tension du fil (direction du fil).

C'est ce que font les pendules (d'où le nom) ou la cour de récréation. Dans un pendule idéal, le mouvement oscillatoire se poursuivrait perpétuellement. Dans un vrai pendule, cependant, le mouvement finit par s'arrêter au fil du temps en raison de la friction avec l'air.

Penser à un pendule rend inévitable l'image de l'horloge pendulaire, le souvenir de cette horloge ancienne et imposante de la maison de campagne des grands-parents. Ou peut-être l'histoire d'horreur d'Edgar Allan Poe, Le puits et le pendule dont le récit est inspiré par l'une des nombreuses méthodes de torture utilisées par l'Inquisition espagnole.

La vérité est que les différents types de pendules ont diverses applications au-delà de la mesure du temps, comme par exemple, déterminer l'accélération de la gravité dans un lieu donné et même démontrer la rotation de la Terre comme le physicien français Jean Bernard Léon Foucault

Index

• 1 Le pendule simple et le simple mouvement vibratoire harmonique
  • 1.1 pendule simple
  • 1.2 Mouvement harmonique simple
  • 1.3 Dynamique du mouvement du pendule
  • 1.4 Déplacement, vitesse et accélération
  • 1.5 Vitesse maximale et accélération
• 2 Conclusion
• 3 références

Le pendule simple et le mouvement vibratoire harmonique simple

Pendule simple

Le pendule simple, même s’il s’agit d’un système idéal, permet de réaliser une approche théorique du mouvement d’un pendule.

Bien que les équations du mouvement d'un pendule simple puissent être quelque peu complexes, la vérité est que lorsque l'amplitude (Un) ou le déplacement à partir de la position d'équilibre du mouvement est petit, cela peut être approché avec les équations d'un mouvement harmonique simple qui n'est pas excessivement compliqué.

Mouvement harmonique simple

Le mouvement harmonique simple est un mouvement périodique, c'est-à-dire qui se répète dans le temps. De plus, c'est un mouvement oscillatoire dont l'oscillation se produit autour d'un point d'équilibre, c'est-à-dire un point où le résultat net de la somme des forces appliquées au corps est nul.

De cette manière, une caractéristique fondamentale du mouvement du pendule est sa période (T), qui détermine le temps nécessaire pour effectuer un cycle complet (ou une oscillation complète). La période d'un pendule est déterminée par l'expression suivante:

être, l = la longueur du pendule; et, g = la valeur de l'accélération de la gravité.

Une ampleur liée à la période est la fréquence (f), qui détermine le nombre de cycles parcourus par le pendule en une seconde. De cette manière, la fréquence peut être déterminée à partir de la période avec l'expression suivante:

Dynamique du mouvement du pendule

Les forces qui interviennent dans le mouvement sont le poids ou la force de gravité (P) et la tension du fil (T). La combinaison de ces deux forces est la cause du mouvement.

Bien que la tension soit toujours dirigée dans la direction du fil ou de la corde qui relie la masse au point fixe, il n'est donc pas nécessaire de la décomposer; le poids est toujours orienté verticalement vers le centre de masse de la Terre et il est donc nécessaire de le décomposer en ses composantes tangentielle et normale ou radiale.

La composante tangentielle du poids P_t = mg sen θ, alors que la composante normale du poids est P_N = mg cos θ. Ce second est compensé par la tension du fil; La composante tangentielle du poids agissant en tant que force de récupération est donc responsable du mouvement.

Déplacement, vitesse et accélération

Le déplacement d'un mouvement harmonique simple, et donc du pendule, est déterminé par l'équation suivante:

x = A ω cos (ω t + θ₀)

où ω = est la vitesse angulaire de rotation; t = est le temps; et, θ₀ = est la phase initiale.

De cette façon, cette équation vous permet de déterminer la position du pendule à tout moment. À cet égard, il est intéressant de mettre en évidence certaines relations entre certaines grandeurs du mouvement harmonique simple.

ω = 2 Π / T = 2 Π / f

Par contre, la formule qui régit la vitesse du pendule en fonction du temps est obtenue en dérivant le déplacement en fonction du temps, donc:

v = dx / dt = -A ω sen (ω t + θ₀)

En procédant de la même manière, on obtient l'expression de l'accélération par rapport au temps:

a = dv / dt = - A ω² cos (ω t + θ₀)

Vitesse maximale et accélération

En observant à la fois l'expression de la vitesse et celle de l'accélération, certains aspects intéressants du mouvement du pendule sont appréciés.

La vitesse prend sa valeur maximale dans la position d'équilibre, moment auquel l'accélération est nulle, car, comme déjà indiqué ci-dessus, la force nette est à ce moment nulle.

Au contraire, aux extrémités du déplacement, l'inverse se produit, là l'accélération prend la valeur maximale et la vitesse prend une valeur nulle.

À partir des équations de vitesse et d'accélération, il est facile de déduire à la fois le module de vitesse maximale et le module d'accélération maximale. Il suffit de prendre la valeur maximale possible pour les deux péché (ω t + θ₀) quant à la cos (ω t + θ₀), qui dans les deux cas est 1.

│v_max │= A ω

│un_max│ = A ω²

Le moment où le pendule atteint la vitesse maximale est celui qui traverse le point d'équilibre des forces depuis lors péché (ω t + θ₀)= 1. Au contraire, l'accélération maximale atteint les deux extrémités du mouvement, depuis lors cos (ω t + θ₀) = 1

conclusion

Un pendule est un objet facile à concevoir et apparemment avec un simple mouvement, même si la vérité est qu’en arrière-plan, il est beaucoup plus complexe qu’il n’y paraît.

Cependant, lorsque l'amplitude initiale est faible, son mouvement peut être expliqué par des équations qui ne sont pas excessivement compliquées, étant donné qu'il peut être approché avec les équations du mouvement vibratoire harmonique simple.

Les différents types de pendules existants ont des applications différentes dans la vie quotidienne et dans le domaine scientifique.

Références

1. Van Baak, Tom (novembre 2013). "Une nouvelle équation de la période du pendule". Bulletin de la Science Horologique.2013 (5): 22-30.
2. Pendule (n.d.). Dans Wikipedia. Extrait le 7 mars 2018 de en.wikipedia.org.
3. Pendule (mathématiques). (n.d.). Dans Wikipedia. Extrait le 7 mars 2018 de en.wikipedia.org.
4. Llorente, Juan Antonio (1826).L'histoire de l'Inquisition d'Espagne. Abrégé et traduit par George B. Whittaker. Université d'Oxford. pp. XX, préface.
5. Poe, Edgar Allan (1842).La fosse et le pendule. Booklassic. ISBN 9635271905.