Équations polynomiales (avec exercices résolus)

Le équations polynomiales sont des instructions qui soulèvent l'égalité de deux expressions ou membres, au moins un des termes composant chaque côté de l'égalité étant des polynômes P (x). Ces équations sont nommées en fonction du degré de leurs variables.

En général, une équation est une déclaration qui établit l’égalité de deux expressions, dans lesquelles au moins l’une d’entre elles contient des quantités inconnues, appelées variables ou inconnues. Bien qu'il existe de nombreux types d'équations, ils sont généralement classés en deux types: algébrique et transcendantal.

Les équations polynomiales ne contiennent que des expressions algébriques, qui peuvent impliquer une ou plusieurs inconnues dans l’équation. Selon l'exposant (degré) qu'ils ont peuvent être classés en premier degré (linéaire), au second degré (quadratique), troisième degré (cubique), quatrième catégorie (quartique) supérieur ou égal à cinq et le degré irrationnel.

Index

• 1 caractéristiques
• 2 types
  • 2.1 Première année
  • 2.2 Deuxième degré
  • 2.3 Resolvent
  • 2.4 Grade supérieur
• 3 exercices résolus
  • 3.1 Premier exercice
  • 3.2 Deuxième exercice
• 4 références

Caractéristiques

Les équations polynomiales sont des expressions formées par une égalité entre deux polynômes; -à-dire par des sommes finies de multiplications entre les valeurs sont inconnues (variables) et les numéros fixes (coefficients), où les variables peuvent avoir des exposants, et sa valeur peut être un nombre entier positif y compris zéro.

Les exposants déterminent le degré ou le type d'équation. Ce terme de l'expression qui possède l'exposant le plus élevé représentera le degré absolu du polynôme.

Les équations polynomiales sont également appelées algébriques, leurs coefficients peuvent être des nombres réels ou complexes et les variables sont des nombres inconnus représentés par une lettre, telle que "x".

En cas de remplacement d'une valeur pour la variable « x » dans P (x), le résultat est zéro (0), il est dit que cette valeur satisfait à l'équation (elle est une solution), et est généralement appelé racine du polynôme.

Lorsqu'une équation polynomiale est développée, nous voulons trouver toutes les racines ou solutions.

Types

Il existe plusieurs types d’équations polynomiales, différenciées en fonction du nombre de variables et de leur degré d’exposant.

Ainsi, les équations polynomiales, où le premier terme est un polynôme qui a une inconnue, alors que leur degré peut être un nombre naturel (n) et le second terme est nul, peut être exprimée comme suit:

un_{n *} xⁿ + un_{n-1 *} x^n-1 + ... + a_{1 *} x¹ + un_{0 *} x₀ = 0

Où:

- un_n, un_n-1 et un₀, ce sont de vrais coefficients (nombres).

- un_n C'est différent de zéro.

- L'exposant n est un entier positif représentant le degré de l'équation.

- x est la variable ou l'inconnu à rechercher.

Le degré absolu ou supérieur d'une équation polynomiale est l'exposant de plus grande valeur parmi tous ceux qui forment le polynôme; de cette façon, les équations sont classées comme suit:

Première année

équations polynomiales du premier degré, également connues sous forme d'équations linéaires, sont ceux dans lesquels le degré (le plus grand exposant) est égal à 1, le polynôme est de la forme P (x) = 0; et est composé d'un terme linéaire et d'un terme indépendant. Il est écrit comme suit:

ax + b = 0.

Où:

- a et b sont des nombres réels et un ≠ 0.

- ax est le terme linéaire.

- b est le terme indépendant.

Par exemple, l'équation 13x - 18 = 4x.

Pour résoudre des équations linéaires, tous les termes contenant l'inconnu x doivent être passés d'un côté de l'égalité, et ceux qui ne le sont pas sont déplacés de l'autre côté, afin de l'effacer et d'obtenir une solution:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2

De cette manière, l’équation donnée a une seule solution ou racine, qui est x = 2.

Second grade

équations polynomiales du second degré, aussi connu comme équations du second degré, sont ceux dans lesquels le degré (le plus grand exposant) est égal à 2, le polynôme est de la forme P (x) = 0, et est composé d'un terme quadratique , un linéaire et un indépendant. Il s'exprime comme suit:

hache² + bx + c = 0

Où:

- a, b et c sont des nombres réels et a ≠ 0.

- hache² est le terme quadratique et "a" est le coefficient du terme quadratique.

- bx est le terme linéaire et "b" est le coefficient du terme linéaire.

- c est le terme indépendant.

Résolveur

Généralement, la solution à ce type d’équations est donnée en effaçant x de l’équation, et on la laisse de la manière suivante, appelée résolveur:

Là, (b² - 4ac) est appelé discriminant de l’équation et cette expression détermine le nombre de solutions que l’équation peut avoir:

- oui (b² - 4ac) = 0, l'équation aura une solution unique qui est double; c'est-à-dire que vous aurez deux solutions égales.

- oui (b² - 4ac)> 0, l’équation aura deux solutions réelles différentes.

- oui (b² - 4ac) <0, l’équation n’a pas de solution (elle aura deux solutions complexes différentes).

Par exemple, vous avez l'équation 4x² + 10x - 6 = 0, pour le résoudre, identifiez d'abord les termes a, b et c, puis remplacez-le dans la formule:

a = 4

b = 10

c = -6.

Il y a des cas où les équations polynomiales du second degré n'ont pas les trois termes, et c'est pourquoi elles sont résolues différemment:

- Dans le cas où les équations quadratiques n’ont pas le terme linéaire (c’est-à-dire, b = 0), l’équation sera exprimée en axe² + c = 0. Pour le résoudre, il est effacé x² et les racines carrées sont appliquées dans chaque membre, rappelant que les deux signes possibles que peut avoir l'inconnu doivent être considérés:

hache² + c = 0

x² = - c ÷ a

Par exemple, 5 x² - 20 = 0.

5 x² = 20

x² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x₁ = 2.

x₂ = -2.

- Lorsque l’équation quadratique n’a pas de terme indépendant (c = 0), l’équation sera exprimée en axe² + bx = 0. Pour le résoudre, il faut extraire le facteur commun de l'inconnu x dans le premier membre; comme l'équation est égale à zéro, il est vrai qu'au moins l'un des facteurs sera égal à 0:

hache² + bx = 0

x (ax + b) = 0.

De cette façon, vous devez:

x = 0

x = -b ÷ a.

Par exemple: vous avez l'équation 5x² + 30x = 0. Premier facteur:

5x² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Deux facteurs sont générés, à savoir x et (5x + 30). On considère que l'un d'entre eux sera égal à zéro et l'autre solution sera donnée:

x₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x₂ = -6.

Grade supérieur

Les équations polynomiales de degré plus élevé sont celles qui vont du troisième degré, qui peuvent être exprimées ou résolues avec l’équation polynomiale générale pour tout degré:

un_{n *} xⁿ + un_{n-1 *} x^n-1 + ... + a_{1 *} x¹ + un_{0 *} x₀ = 0

Ceci est utilisé car une équation avec un degré supérieur à deux est le résultat de la factorisation d'un polynôme; c'est-à-dire qu'elle s'exprime par la multiplication de polynômes de degré un ou plus, mais sans racines réelles.

La solution de ce type d'équations est directe car la multiplication de deux facteurs sera nulle si l'un des facteurs est nul (0); par conséquent, chacune des équations polynomiales trouvées doit être résolue, en égalisant chacun de ses facteurs à zéro.

Par exemple, vous avez l'équation du troisième degré (cubique) x³ + x² + 4x + 4 = 0. Pour le résoudre, les étapes suivantes doivent être suivies:

- Les termes sont regroupés:

x³ + x² + 4x + 4 = 0

(x³ + x² ) + (4x + 4) = 0.

- Les membres sont décomposés pour obtenir le facteur commun de l'inconnu:

x² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x² + 4)_*(x + 1) = 0.

- De cette façon, deux facteurs sont obtenus, qui doivent être égaux à zéro:

(x² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- On peut voir que le facteur (x² + 4) = 0 n'aura pas de solution réelle, alors que le facteur (x + 1) = 0 oui. Par conséquent, la solution est la suivante:

(x + 1) = 0

x = -1

Exercices résolus

Résolvez les équations suivantes:

Premier exercice

(2x² + 5)_*(x - 3)_*(1 + x) = 0.

Solution

Dans ce cas, l’équation est exprimée par la multiplication de polynômes; c'est-à-dire qu'il est pris en compte. Pour le résoudre, chaque facteur doit être égal à zéro:

- 2x² + 5 = 0, n'a pas de solution.

- x - 3 = 0

- x = 3

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Ainsi, l'équation donnée a deux solutions: x = 3 et x = -1.

Deuxième exercice

x⁴ - 36 = 0.

Solution

Un polynôme a été donné, qui peut être réécrit comme une différence de carrés pour arriver à une solution plus rapide. Ainsi, l'équation reste:

(x² + 6)_*(x² - 6) = 0.

Pour trouver la solution des équations, les deux facteurs sont égaux à zéro:

(x² + 6) = 0, n'a pas de solution.

(x² - 6) = 0

x² = 6

x = ± √6.

Ainsi, l’équation initiale a deux solutions:

x = √6.

x = - √6.

Références

1. Andres, T. (2010). Olympiade mathématique Tresure. Springer. New York
2. Angel, A. R. (2007). Algèbre élémentaire Pearson Education,.
3. Baer R. (2012). Algèbre linéaire et géométrie projective. Société de messagerie.
4. Baldor, A. (1941). Algèbre La Havane: Culture.
5. Castaño, H. F. (2005). Mathématiques avant le calcul. Université de Medellin.
6. Cristóbal Sánchez, M. R. (2000). Manuel mathématique pour la préparation olympique. Universitat Jaume I.
7. Kreemly Pérez, M. L. (1984). Algèbre Supérieure I.
8. Massara, N. C.-L. (1995). Mathématiques 3.