Dérivées algébriques (avec exemples)

Le dérivés algébriques ils consistent à étudier la dérivée dans le cas particulier des fonctions algébriques. L'origine de la notion de dérivé remonte à la Grèce antique. Le développement de cette notion était motivé par la nécessité de résoudre deux problèmes importants, l’un en physique et l’autre en mathématiques.

En physique, la dérivée résout le problème de la détermination de la vitesse instantanée d'un objet en mouvement. En mathématiques, vous pouvez trouver la ligne tangente à une courbe à un point donné.

Bien qu'il y ait vraiment beaucoup plus de problèmes résolus en utilisant la dérivée, ainsi que ses généralisations, les résultats sont venus plus tard lors de l'introduction de son concept.

Les pionniers du calcul différentiel sont Newton et Leibniz. Avant de donner la définition formelle, nous développerons l'idée derrière le point de vue mathématique et physique.

Index

• 1 La dérivée comme pente de la ligne tangente à une courbe
• 2 La dérivée comme vitesse instantanée d'un objet en mouvement
  • 2.1 Fonction algébrique
• 3 règles de dérivation
  • 3.1 Dérivé d'une constante
  • 3.2 Dérivé d'un pouvoir
  • 3.3 Dérivé de l'addition et de la soustraction
  • 3.4 Dérivé d'un produit
  • 3.5 Dérivé d'un quotient
  • 3.6 Règle de la chaîne
• 4 références

La dérivée comme pente de la ligne tangente à une courbe

Supposons que le graphe d'une fonction y = f (x) est un graphique (sans pics ou sommets ou des séparations), et A = (a, f (a)) fixé sur ce point. Nous voulons trouver l'équation de la ligne tangente au graphique de la fonction f au point A.

Prendre un autre point P = (x, f (x)) de la courbe au voisinage du point A, et nous faire sécante passant par A et P. Un déshydratant est une ligne droite coupant le graphique d'une courbe dans une ou plusieurs points.

Pour obtenir la ligne tangente que nous voulons, il suffit de calculer la pente puisque nous avons déjà un point sur la ligne: le point A.

Si nous déplaçons le point P le long du graphe et que nous le rapprochons de plus en plus du point A, la ligne sécante susmentionnée se rapprochera de la ligne tangente que nous voulons trouver. En prenant la limite lorsque "P tend vers A", les deux lignes coïncideront, donc ses pentes également.

La pente de la ligne sécante est donnée par

Dire que P s'approche de A revient à dire que "x" se rapproche de "a". Ainsi, la pente de la tangente au graphe de f au point A sera égale à:

L'expression ci-dessus est notée f '(a) et est définie comme la dérivée d'une fonction f au point "a". On voit que analytiquement la dérivée d'une fonction en un point est une limite, mais géométriquement, la pente de la tangente au graphe de la fonction à la droite du point.

Nous verrons maintenant cette notion du point de vue de la physique. Nous arriverons à la même expression de la limite précédente, mais de manière différente, en obtenant l'unanimité de la définition.

La dérivée comme vitesse instantanée d'un objet en mouvement

Voyons un bref exemple de la vitesse instantanée. Lorsqu'on dit, par exemple, qu'une voiture pour atteindre une destination le faisait à une vitesse de 100 km / h, cela signifie qu'en une heure, elle a parcouru 100 km.

Cela ne signifie pas nécessairement que pendant toute l’heure, la voiture était toujours à 100 km, l’indicateur de vitesse de la voiture pourrait à certains moments marquer moins ou plus. S'il devait s'arrêter à un feu rouge, la vitesse à ce moment-là était de 0 km. Cependant, après une heure, le parcours était de 100 km.

C'est ce que l'on appelle la vitesse moyenne et qui est donné par le quotient de la distance parcourue entre le temps écoulé, comme nous venons de le voir. La vitesse instantanée, en revanche, est celle qui marque l'aiguille du compteur de vitesse d'une voiture à un moment déterminé (heure).

Regardons cela maintenant plus généralement. Supposons un objet est déplacé le long d'une ligne et que ce déplacement est représenté par l'équation de = f (t), où t la variable mesurée du temps et le déplacement de la variable, compte tenu de leur début dans l'instant t = 0, heure à laquelle il est également nul, c'est-à-dire f (0) = 0.

Cette fonction f (t) est appelée fonction de position.

Une expression est recherchée pour la vitesse instantanée de l'objet à un instant fixe "a". À cette vitesse, nous le désignerons par V (a).

Soit t un instant proche de l'instant "a". Dans l'intervalle de temps entre "a" et "t", le changement de position de l'objet est donné par f (t) -f (a).

La vitesse moyenne dans cet intervalle de temps est la suivante:

Qui est une approximation de la vitesse instantanée V (a). Cette approximation sera d'autant meilleure que t se rapproche de "a". Donc,

Observez que cette expression est égale à celle obtenue dans le cas précédent, mais dans une perspective différente. C'est ce que l'on appelle la dérivée d'une fonction f en un point "a" et noté f '(a), comme indiqué ci-dessus.

Notez que faire le changement h = x-un, est que lorsque « x » tend à « un », « h » tend vers 0, et la limite précédente devient (équivalente) à:

Les deux expressions sont équivalentes mais il est parfois préférable d'utiliser l'une au lieu de l'autre, selon le cas.

La dérivée d'une fonction f est alors définie plus généralement en tout point "x" appartenant à son domaine comme

La notation la plus courante pour représenter la dérivée d'une fonction y = f (x) est celle que nous venons de voir (f 'o et'). Cependant, une autre notation largement utilisée est la notation de Leibniz qui est représentée par l’une des expressions suivantes:

Comme la dérivée est essentiellement une limite, elle peut ou non exister, car les limites n'existent pas toujours. S'il existe, on dit que la fonction en question est différentiable au point donné.

Fonction algébrique

Une fonction algébrique est une combinaison de polynômes au moyen de sommes, de soustractions, de produits, de quotients, de puissances et de radicaux.

Un polynôme est une expression de la forme

P_n= a_nxⁿ+ un_n-1x^n-1+ un_n-2x^n-2+ ... + a₂x²+ un₁x + a₀

Où n est un nombre naturel et tous les a_je, avec i = 0,1, ..., n sont des nombres rationnels et un_n≠ 0 Dans ce cas, on dit que le degré de ce polynôme est n.

Voici des exemples de fonctions algébriques:

Ici, les fonctions exponentielles, logarithmiques et trigonométriques ne sont pas incluses. Les règles de dérivation que nous verrons ci-dessous sont valables pour des fonctions en général, mais nous nous restreindrons et les appliquerons dans le cas des fonctions algébriques.

Règles de dérivation

Dérivé d'une constante

Il établit que la dérivée d'une constante est zéro. C'est-à-dire que si f (x) = c, alors f '(x) = 0. Par exemple, la dérivée de la fonction constante 2 est égale à 0.

Dérivé d'un pouvoir

Si f (x) = xⁿ, alors f '(x) = nx^n-1. Par exemple, la dérivée de x³ C'est 3x². Par conséquent, nous obtenons que la dérivée de la fonction identité f (x) = x est f '(x) = 1x^1-1= x⁰=1.

Un autre exemple est le suivant: be f (x) = 1 / x², alors f (x) = x^-2 et f '(x) = - 2x^-2-1= -2x^-3.

Cette propriété est également une racine valide, car les racines sont des pouvoirs rationnels et vous pouvez également appliquer ce qui précède dans ce cas. Par exemple, la dérivée d’une racine carrée est donnée par

Dérivé d'une somme et d'une soustraction

Si f et g sont des fonctions différentiables dans x, alors la somme f + g est également différente et il est vrai que (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

De manière analogue, nous avons que (f-g) '(x) = f' (x) -g '(x). En d'autres termes, la dérivée d'une somme (soustraction) est la somme (ou soustraction) des dérivés.

Exemple

Si h (x) = x²+ x-1, alors

h '(x) = (x²) + (x) '- (1)' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

Dérivé d'un produit

Si f et g sont des fonctions différentiables dans x, alors le produit fg est aussi différentiable dans x et il est rempli que

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

La conséquence est que si c est une constante et f une fonction différentiable dans x, alors cf est aussi différentiable dans x et (cf) '(x) = cf' (X).

Exemple

Si f (x) = 3x (x²+1), alors

f '(x) = (3x)' (x²+1) + (3x) (x²+1) '= 3 (x)' (x²+1) + 3x [(x²)'+(1)']

= 3 (1) (x²+1) + 3x [(2x^2-1) +0] = 3 (x²+1) + 3x (2x) = 3x²+ 3 + 6x²

= 9x²+3.

Dérivé d'un quotient

Si f et g sont différenciables dans x et g (x) ≠ 0, alors f / g est aussi différentiable dans x, et il est vrai que

Exemple: si h (x) = x³/ (x²-5x), alors

h '(x) = [(x³) '(x⁵-5x) - (x³) (x⁵-5x) '] / (x⁵-5x)²= [(3x²) (x⁵-5x) - (x³) (5x⁴-5)] / (x⁵-5x)².

Règle de la chaîne

Cette règle permet de dériver la composition des fonctions. Il établit ce qui suit: si y = f (u) est différentiable dans u, yu = g (x) est différentiable dans x, alors la fonction composée f (g (x)) est différentiable dans x, et il est satisfait que [f ( g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

C'est-à-dire que la dérivée d'une fonction composite est le produit de la dérivée de la fonction externe (dérivée externe) par la dérivée de la fonction interne (dérivée interne).

Exemple

Si f (x) = (x⁴-2x)³, ensuite

f '(x) = 3 (x⁴-2x)²(x⁴-2x) '= 3 (x⁴-2x)²(4x³-2).

Il y a aussi des résultats pour calculer la dérivée de l'inverse d'une fonction, ainsi que la généralisation à des dérivés d'ordre supérieur. Les applications sont nombreuses. Parmi eux, ils mettent en évidence leurs utilitaires dans les problèmes d'optimisation et les fonctions maximales et minimales.

Références

1. Alarcon, S., González, M. et Quintana, H. (2008). Calcul différentiel. ITM.
2. Cabrera, V. M. (1997). Calcul 4000 Progress Editorial.
3. Castaño, H. F. (2005). Mathématiques avant le calcul. Université de Medellin.
4. Eduardo, N. A. (2003). Introduction au calcul. Éditions de seuil.
5. Sources, A. (2016). MATHÉMATIQUES DE BASE. Une introduction au calcul Lulu.com
6. Purcell, E. J., Rigdon, S. E. et Varberg, D. E. (2007). Calcul Pearson Education.
7. Saenz, J. (2005). Calcul différentiel (Deuxième éd.). Barquisimeto: Hypoténuse.
8. Thomas, G. B. et Weir, M. D. (2006). Calcul: plusieurs variables. Pearson Education.