Composants rectangulaires d'un vecteur (avec exercices)

Le composants rectangulaires d'un vecteur ce sont les données qui composent ce vecteur. Pour les déterminer, il est nécessaire d'avoir un système de coordonnées, généralement le plan cartésien.

Une fois que vous avez un vecteur dans un système de coordonnées, vous pouvez calculer ses composants. Ce sont 2, une composante horizontale (parallèle à l'axe X), appelée "composant sur l'axe X", et une composante verticale (parallèle à l'axe Y), appelée "composant sur l'axe Y".

Afin de déterminer les composants, il est nécessaire de connaître certaines données vectorielles telles que son amplitude et l'angle qu'il forme avec l'axe X.

Index

• 1 Comment déterminer les composantes rectangulaires d'un vecteur?
  • 1.1 Y a-t-il d'autres méthodes?
• 2 exercices
  • 2.1 Premier exercice
  • 2.2 Deuxième exercice
  • 2.3 Troisième exercice
• 3 références

Comment déterminer les composantes rectangulaires d'un vecteur?

Pour déterminer ces composants, certaines relations entre les triangles droits et les fonctions trigonométriques doivent être connues.

Dans l'image suivante, vous pouvez voir cette relation.

Le sinus d'un angle est égal au quotient entre la mesure de la jambe opposée à l'angle et la mesure de l'hypoténuse.

D'autre part, le cosinus d'un angle est égal au quotient entre la mesure de la jambe adjacente à l'angle et la mesure de l'hypoténuse.

La tangente d'un angle est égale au quotient entre la mesure de la jambe opposée et la mesure de la jambe adjacente.

Dans toutes ces relations, il est nécessaire d'établir le triangle rectangle correspondant.

Y a-t-il d'autres méthodes?

Oui Selon les données fournies, la manière de calculer les composantes rectangulaires d'un vecteur peut varier. Un autre outil très utilisé est le théorème de Pythagore.

Des exercices

Dans les exercices suivants, la définition des composantes rectangulaires d’un vecteur et les relations décrites ci-dessus sont mises en pratique.

Premier exercice

On sait qu'un vecteur A a une magnitude égale à 12 et que l'angle qu'il forme avec l'axe X a une mesure de 30 °. Déterminer les composantes rectangulaires dudit vecteur A.

Solution

Si l'image est appréciée et que les formules décrites ci-dessus sont utilisées, on peut en conclure que la composante sur l'axe Y du vecteur A est égale à

sin (30 °) = Vy / 12, et donc Vy = 12 * (1/2) = 6.

D'autre part, nous avons que la composante sur l'axe X du vecteur A est égale à

cos (30 °) = Vx / 12 et donc Vx = 12 * (√3 / 2) = 6√3.

Deuxième exercice

Si le vecteur A a une magnitude égale à 5 et que la composante de l'axe X est égale à 4, déterminez la valeur de la composante de A sur l'axe des y.

Solution

En utilisant le théorème de Pythagore, on a que la grandeur du vecteur A au carré est égale à la somme des carrés des deux composantes rectangulaires. C'est-à-dire M² = (Vx) ² + (Vy) ².

En substituant les valeurs fournies, vous devez

5² = (4) ² + (Vy) ² donc 25 = 16 + (Vy) ².

Cela implique que (Vy) ² = 9 et par conséquent Vy = 3.

Troisième exercice

Si le vecteur A a une magnitude égale à 4 et que celle-ci forme un angle de 45 ° avec l'axe X, déterminez les composantes rectangulaires de ce vecteur.

Solution

En utilisant les relations entre un triangle rectangle et les fonctions trigonométriques, on peut conclure que la composante sur l’axe Y du vecteur A est égale à

sin (45 °) = Vy / 4, et donc Vy = 4 * (√2 / 2) = 2√2.

D'autre part, nous avons que la composante sur l'axe X du vecteur A est égale à

cos (45 °) = Vx / 4, et donc Vx = 4 * (√2 / 2) = 2√2.

Références

1. Landaverde, F. D. (1997). La géométrie (Réimpression éd.). Progrès
2. Leake, D. (2006). Triangles (éd. illustré). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, C. D. (2006). Précalcul Pearson Education.
4. Ruiz, Á. & Barrantes, H. (2006). Géométries CR technologique
5. Sullivan, M. (1997). Précalcul Pearson Education.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonométrie et géométrie analytique. Pearson Education.