Comment calculer les côtés et les angles d'un triangle?

Il y a différentes manières de calculer les côtés et les angles d'un triangle. Celles-ci dépendent du type de triangle avec lequel vous travaillez.

Dans cette opportunité, nous allons montrer comment calculer les côtés et les angles d’un triangle rectangle, en supposant que certaines données de triangles sont connues.

Les éléments qui seront utilisés sont:

- Le théorème de Pythagore

Étant donné un triangle rectangle avec les jambes "a", "b" et l'hypoténuse "c", il est vrai que "c² = a² + b²".

- Zone d'un triangle

La formule pour calculer l'aire d'un triangle est A = (b × h) / 2, où "b" est la longueur de la base et "h" la longueur de la hauteur.

- Angles d'un triangle

La somme des trois angles internes d'un triangle est de 180º.

- Les fonctions trigonométriques:

Considérons un triangle rectangle. Ensuite, les fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente de l’angle bêta (β) sont définies comme suit:

sin (β) = CO / Hip, cos (β) = CA / Hip et tan (β) = CO / CA.

Comment calculer les côtés et les angles d'un triangle rectangle?

Étant donné un triangle rectangle ABC, les situations suivantes peuvent se produire:

1- Les deux jambes sont connues

Si le cathetus "a" mesure 3 cm et que le cathetus "b" mesure 4 cm, alors, pour calculer la valeur de "c", on utilise le théorème de Pythagore. En substituant les valeurs de "a" et "b", on obtient que c² = 25 cm², ce qui implique que c = 5 cm.

Maintenant, si l'angle β est opposé au cathetus "b", alors sin (β) = 4/5. En appliquant la fonction sinusoïdale inverse, nous obtenons dans cette dernière égalité que β = 53.13º. Deux angles internes du triangle sont déjà connus.

Soit θ l'angle restant à connaître, puis 90º + 53,13º + θ = 180º, d'où l'on obtient que θ = 36,87º.

Dans ce cas, il n'est pas nécessaire que les côtés connus soient les deux jambes, l'important est de connaître la valeur des deux côtés.

2- Un cathetus et la région sont connus

Soit a = 3 cm la jambe connue et A = 9 cm² l'aire du triangle.

Dans un triangle rectangle, une jambe peut être considérée comme une base et l'autre comme une hauteur (puisqu'elles sont perpendiculaires).

Supposons que "a" soit la base, donc 9 = (3 × h) / 2, à partir de laquelle on obtient que l'autre cathetus mesure 6 cm. Pour calculer l'hypoténuse, nous procédons comme dans le cas précédent et nous obtenons que c = √45 cm.

Maintenant, si l'angle β est opposé à la jambe "a", alors sin (β) = 3 / √45. Lorsque vous effacez β, vous obtenez une valeur de 26,57º. Il ne reste qu'à connaître la valeur du troisième angle θ.

Il est satisfait que 90º + 26,57º + θ = 180º, d’où il est conclu que θ = 63,43º.

3- Un angle et une jambe sont connus

Soit β = 45 ° l'angle connu et a = 3 cm la jambe connue, où la jambe "a" est opposée à l'angle β. En utilisant la formule de la tangente, on obtient que tg (45º) = 3 / CA, d’où il ressort que CA = 3 cm.

En utilisant le théorème de Pythagore, on obtient que c² = 18 cm², soit c = 3√2 cm.

On sait qu'un angle mesure 90º et que β mesure 45º, d'où il est conclu que le troisième angle mesure 45º.

Dans ce cas, le côté connu ne doit pas nécessairement être une jambe, il peut s'agir de l'un des trois côtés du triangle.

Références

1. Landaverde, F. d. (1997). La géométrie (Réimpression éd.). Progrès
2. Leake, D. (2006). Triangles (éd. illustré). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, C. D. (2006). Précalcul Pearson Education.
4. Ruiz, Á. & Barrantes, H. (2006). Géométries Technologie CR
5. Sullivan, M. (1997). Précalcul Pearson Education.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonométrie et géométrie analytique. Pearson Education.