Classification des nombres réels

La principale classification des nombres réels Il est divisé en nombres naturels, en nombres entiers, en nombres rationnels et en nombres irrationnels. Les nombres réels sont représentés par la lettre R.

Les nombres réels se rapportent à la combinaison de groupes de nombres rationnels et irrationnels. Pour former ces groupes, vous avez besoin de nombres naturels et de nombres entiers.

Il y a plusieurs façons dont les différents nombres réels peuvent être construits ou décrits, allant de formes plus simples aux plus complexes, en fonction du travail mathématique que vous souhaitez effectuer.

Comment sont classés les nombres réels?

Nombres naturels

Ce sont les nombres qui servent à compter, comme par exemple "il y a quatre fleurs dans le verre".

Quelques définitions des nombres naturels commencent à 0, tandis que d'autres définitions commencent à 1. Nombres naturels sont ceux utilisés pour dire: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ... etc; Ils sont utilisés comme nombres ordinaux ou cardinaux.

Les nombres naturels sont les bases avec lesquelles de nombreux autres ensembles de nombres peuvent être construits par extension: entiers, nombres rationnels, nombres réels et nombres complexes, entre autres.

Ces chaînes d'extension constituent les nombres naturels identifiés canoniquement dans les autres systèmes de numération.

Les propriétés des nombres naturels, telles que la divisibilité et la distribution des nombres primaires, sont étudiées en théorie des nombres.

Les problèmes liés au comptage et à l’ordonnancement, tels que les énumérations et le partitionnement, sont étudiés en combinatoire.

Dans la langue commune, comme dans les écoles primaires, les nombres naturels peuvent être appelés nombres dénombrables pour exclure les nombres entiers négatifs et zéro.

Ils ont plusieurs propriétés, telles que: addition, multiplication, soustraction, division, etc.

Nombres entiers

Les nombres entiers sont les nombres qui peuvent être écrits sans composante. Par exemple: 21, 4, 0, -76, etc. Par contre, les nombres comme 8.58 ou √2 ne sont pas des nombres entiers.

On peut dire que les nombres entiers sont des nombres complets avec des nombres négatifs de nombres naturels. Ils sont utilisés pour exprimer les sommes dues, les profondeurs relatives au niveau de la mer ou les températures inférieures à zéro, pour ne citer que quelques utilisations.

Un ensemble d'entiers est constitué de zéro (0), de nombres naturels positifs (1,2,3 ...) et d'entiers négatifs (-1, -2, -3 ...). Généralement, cela s'appelle avec un ZZ ou avec un Z (Z) en gras.

Z est un sous-ensemble du groupe de nombres rationnels Q, qui forment à leur tour le groupe de nombres réels R. Comme les nombres naturels, Z est un groupe de comptabilité infini.

Les nombres entiers constituent le plus petit groupe et le plus petit ensemble de nombres naturels. Dans la théorie des nombres algébriques, les entiers sont parfois appelés entiers irrationnels pour les distinguer des entiers algébriques.

Nombres rationnels

Un nombre rationnel est un nombre qui peut être exprimé en tant que composante ou fraction de deux entiers p / q, un numérateur p et un dénominateur q. Puisque q peut être égal à 1, chaque nombre entier est un nombre rationnel.

L'ensemble des nombres rationnels, souvent appelés "les rationnels", est désigné par un Q.

L'expansion décimale d'un nombre rationnel se termine toujours après un nombre fini de chiffres ou quand il commence à répéter la même séquence finie de chiffres et encore.

De plus, toute décimale répétée ou terminale représente un nombre rationnel. Ces instructions sont vraies non seulement pour la base 10, mais également pour toute autre base entière.

Un nombre réel qui n'est pas rationnel est appelé irrationnel. Les nombres irrationnels incluent √2, a π et e, par exemple. Depuis est dénombrable racionables toute série de nombres, et que le groupe des nombres réels est indénombrable, on peut dire que presque tous les nombres réels sont irrationnels.

Les nombres rationnels peuvent être formellement définis comme classes d'équivalence de paires de nombres entiers (p, q) de telle sorte que q ≠ 0 ou le rapport équivalent défini par (p1, q1) (P2, Q2) que si p1, Q2 = p2q1.

Les nombres rationnels, ainsi que l'addition et la multiplication, forment des champs qui constituent des entiers et sont contenus par toute branche contenant des entiers.

Nombres irrationnels

Les nombres irrationnels sont tous des nombres réels qui ne sont pas des nombres rationnels. Les nombres irrationnels ne peuvent pas être exprimés en fractions. Les nombres rationnels sont les nombres composés de fractions de nombres entiers.

En conséquence du Cantor de test en disant que tous les nombres réels sont innombrable et rationnel si elles sont dénombrables, on peut conclure que presque tous les nombres réels sont irrationnels.

Lorsque le rayon de longueur de deux segments de ligne est un nombre irrationnel, on peut dire que ces segments de ligne sont incommensurables; ce qui signifie qu'il n'y a pas une longueur suffisante pour que chacun d'eux puisse être "mesuré" avec un nombre entier multiple de ceux-ci.

Parmi les nombres irrationnels figurent le rayon π d'une circonférence de cercle à son diamètre, le nombre d'Euler (e), le nombre d'or (φ) et la racine carrée de deux; plus encore, toutes les racines carrées des nombres naturels sont irrationnelles. La seule exception à cette règle sont les carrés parfaits.

On peut observer que lorsque des nombres irrationnels sont exprimés en position dans un système numérique (par exemple en nombres décimaux), ils ne se terminent pas ou sont répétés.

Cela signifie qu'ils ne contiennent pas une séquence de chiffres, la répétition par laquelle une ligne de représentation est faite.

Par exemple: la représentation décimale du nombre π commence par 3.14159265358979, mais il n'y a pas de nombre fini de chiffres pouvant représenter π exactement, et ils ne peuvent pas non plus être répétés.

La preuve que l'extension décimale d'un nombre rationnel doit prendre fin ou être répétée est différente de la preuve qu'une extension décimale doit être un nombre rationnel; Bien que basiques et un peu longs, ces tests demandent un certain travail.

Généralement, les mathématiciens ne prennent généralement pas la notion de «fin ou de répétition» pour définir le concept de nombre rationnel.

Les nombres irrationnels peuvent également être traités via des fractions non continues.

Références

1. Classifyng nombres réels. Récupéré de chilimath.com.
2. Nombre naturel Récupéré de wikipedia.org.
3. Classification des nombres. Récupéré de ditutor.com.
4. Récupéré de wikipedia.org.
5. Nombre irrationnel Récupéré de wikipedia.org.