3 systèmes d'équations linéaires et comment les résoudre

Le équations linéaires ce sont des équations polynomiales avec une ou plusieurs inconnues. Dans ce cas, les inconnues ne sont pas élevées à des puissances, elles ne se multiplient pas non plus (dans ce cas on dit que l’équation est de degré 1 ou de premier degré).

Une équation est une égalité mathématique où il existe un ou plusieurs éléments inconnus que nous appellerons inconnus ou inconnus dans le cas où il en existe plusieurs. Pour résoudre cette équation, il est nécessaire de connaître la valeur des inconnues.

Une équation linéaire a la structure suivante:

un₀· 1 + a₁· X₁+ un₂· X₂+ ... + a_n· X_n= b

Où₀, un₁, un₂, ..., un_n sont des nombres réels dont nous connaissons la valeur et que nous appelons coefficients, b est également un nombre réel connu appelé terme indépendant. Et enfin ils sont X₁, X_2,..., X_n qui sont ce qu'on appelle des inconnus. Ce sont les variables dont la valeur est inconnue.

Un système d'équations linéaires est un ensemble d'équations linéaires où la valeur des inconnues est la même dans chaque équation.

Logiquement, la manière de résoudre un système d'équations linéaires consiste à attribuer des valeurs aux inconnues, de sorte que l'égalité puisse être vérifiée. C'est-à-dire que les inconnues doivent être calculées pour que toutes les équations du système soient remplies simultanément. Nous représentons un système d'équations linéaires comme suit

un₀· 1 + a₁· X₁ + un₂· X₂ + ... + a_n· X_n = a_{n + 1}

b₀· 1 + b₁· X₁ + b₂· X₂ + ... + b_n· X_n = b_{n + 1}

c₀· 1 + c₁· X₁ + c₂· X₂ + ... + c_n· X_n = c_{n + 1}

… .

d₀· 1 + d₁· X₁ + d₂· X₂ + ... + d_n· X_n = d_{n + 1}

 où un_0, un₁, ..., un_n, b₀, b₁, ..., b_n , c₀ , c₁, ..., c_n etc nous des nombres réels et les inconnus à résoudre sont X₀, ..., X_n , X_{n + 1}.

Chaque équation linéaire représente une ligne et donc un système d'équations de N équations linéaires représente N lignes tracées dans l'espace.

Selon le nombre d'inconnues que possède chaque équation linéaire, la ligne représentant cette équation sera représentée dans une dimension différente, c'est-à-dire une équation à deux inconnues (par exemple, 2 · X₁ + X₂ = 0) représente une ligne dans un espace à deux dimensions, une équation à trois inconnues (par exemple 2 · X₁ + X₂ - 5 · X₃ = 10) serait représenté dans un espace tridimensionnel et ainsi de suite.

Lors de la résolution d'un système d'équations, les valeurs de X₀, ..., X_n , X_{n + 1} ils se trouvent être les points de coupure entre les lignes.

En résolvant un système d'équations, nous pouvons tirer différentes conclusions. Selon le type de résultat obtenu, on peut distinguer 3 types de systèmes d’équations linéaires:

1- Compatibilité indéterminée

Bien que cela semble être une blague, il est possible que lorsque nous essayons de résoudre le système d’équations, nous arrivions à un style évident 0 = 0.

Ce type de situation se produit lorsqu'il existe des solutions infinies pour le système d'équations, et cela se produit lorsqu'il s'avère que dans notre système d'équations, les équations représentent la même ligne. Nous pouvons le voir graphiquement:

En tant que système d'équations, nous prenons:

En ayant 2 équations à 2 inconnues à résoudre, on peut représenter les lignes dans un plan à deux dimensions

Comme nous pouvons voir les lignes avec elle, tous les points de la première équation coïncident donc avec ceux de la deuxième équation, donc elle a autant de points de coupure que de points que la ligne a, à savoir les infinis.

2- incompatibles

En lisant le nom, nous pouvons imaginer que notre prochain système d'équations n'aura pas de solution.

Si nous essayons de résoudre, par exemple, ce système d'équations

Graphiquement ce serait:

Si nous multiplions tous les termes de la deuxième équation, nous obtenons que X + Y = 1 est égal à 2 · X + 2 · Y = 2. Et si cette dernière expression est soustraite de la première équation, on obtient

2 · X-2 · X + 2 · Y -2 · Y = 3-2

Ou ce qui est la même

0 = 1

Lorsque nous sommes dans cette situation, cela signifie que les lignes représentées dans le système d'équations sont parallèles, ce qui signifie que, par définition, elles ne sont jamais coupées et qu'il n'y a pas de point de coupure. Lorsqu'un système est présenté de cette manière, il est dit indépendant.

3- Support déterminé

Enfin, nous arrivons au cas où notre système d'équations a une solution unique, le cas où nous avons des lignes qui se croisent et génèrent un point d'intersection. Voyons un exemple:

Pour le résoudre, nous pouvons ajouter les deux équations afin d'obtenir

(3 · X-4 · Y) + (2 · X + 4 · Y) = -6 + 16

Si nous simplifions nous sommes partis

5 · X + 0 · Y = 5 · X = 10

On en déduit facilement que X = 2 et en substituant ou X = 2 dans l'une des équations originales on obtient Y = 3.

Visuellement ce serait:

Méthodes de résolution de systèmes d'équations linéaires

Comme nous l'avons vu dans la section précédente, pour les systèmes à 2 inconnues et 2 équations, basés sur des opérations simples telles que l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et la substitution, nous pouvons les résoudre en quelques minutes.Mais si nous essayons d'appliquer cette méthodologie à des systèmes avec plus d'équations et plus d'inconnues, les calculs deviennent fastidieux et nous pouvons facilement nous tromper.

Pour simplifier les calculs, il y a diverses méthodes de résolution, mais certainement les méthodes les plus répandues sont la règle de Cramer et de l'élimination de Gauss-Jordan.

Méthode Cramer

Pour expliquer comment cette méthode est appliquée est essentiel de savoir ce que votre matrice et trouver son savoir déterminant, faire une parenthèse pour définir ces deux concepts.

Ongle matrice ce n'est rien d'autre qu'un ensemble de nombres ou de symboles algébriques placés sur des lignes horizontales et verticales et disposés sous la forme d'un rectangle. Pour notre thème, nous utiliserons la matrice comme une manière plus simple d'exprimer notre système d'équations.

Voyons un exemple:

Ce sera le système d'équations linéaires

Ce système simple d’équations que nous pouvons résumer est le fonctionnement de deux matrices 2 × 2 qui donnent une matrice 2 × 1.

Le premier tableau correspond aux coefficients, la seconde matrice sont les inconnues à résoudre et de la matrice située après l'égalité est identifiée par les termes des équations indépendantes

Le déterminant est une opération appliquée à une matrice dont le résultat est un nombre réel.

Dans le cas de la matrice que nous avons trouvée dans notre exemple précédent, son déterminant serait:

Une fois que les concepts de matrice et de déterminant ont été définis, nous pouvons expliquer en quoi consiste la méthode de Cramer.

Par cette méthode, on peut facilement résoudre un système d'équations linéaires tant que le système ne dépasse pas trois équations à trois inconnues puisque le calcul des déterminants d'une matrice est très difficile pour les matrices 4 × 4 ou plus. Dans le cas d'un système comportant plus de trois équations linéaires, la méthode d'élimination de Gauss-Jordan est recommandée.

En continuant avec l'exemple précédent, au moyen de Cramer, nous devons simplement calculer deux déterminants et avec cela nous trouverons la valeur de nos deux inconnues.

Nous avons notre système:

Et nous avons un système représenté par des matrices:

La valeur de X est trouvée:

Simplement dans le calcul du déterminant situé dans le dénominateur de la division, nous avons substitué la première commune à la matrice des termes indépendants. Et dans le dénominateur de la division, nous avons le déterminant de notre matrice originale.

Effectuer les mêmes calculs pour trouver le Y que nous obtenons:

Élimination de Gauss-Jordan

Nous définissons matrice étendue à la matrice qui résulte d'un système d'équations où l'on ajoute les termes indépendants à la fin de la matrice.

Si nous continuons avec notre exemple

Notre matrice étendue serait:

La méthode d'élimination de Gauss-Jordan est à travers des opérations entre les lignes de la matrice transforment notre matrice étendue dans une matrice beaucoup plus simple où j'ai des zéros dans tous les domaines, à l'exception de la diagonale, où je devrais obtenir. De la manière suivante:

Où X et Y seraient des nombres réels qui correspondent à nos inconnues.

Résoutons ce système en éliminant Gauss-Jordan:

multiplier la première rangée par 2 et la deuxième rangée par 3

Si nous soustrayons la première ligne de la première ligne, nous obtenons

Nous avons déjà réussi à obtenir un zéro dans la partie inférieure gauche de notre matrice, l'étape suivante consiste à obtenir un 0 dans la partie supérieure droite de notre matrice.

J'ai divisé la première rangée entre 2 et la deuxième rangée entre 10 pour simplifier les nombres multiplié la deuxième rangée par 2

Je rejoins la deuxième rangée la seconde

Nous avons réalisé un 0 dans la partie supérieure gauche de la matrice, maintenant nous avons juste à convertir les diagonales et nous avons résolu notre système Gauss-Jordan.

J'ai divisé la première rangée par 3 et la deuxième par 4

Nous arrivons donc à la conclusion que:

Références

1. vitutor.com.
2. algebra.us.es.
3. Systèmes d'équations linéaires (sans date). Récupéré de uco.es.
4. Systèmes d'équations linéaires. Chapitre 7. (non daté). Récupéré de sauce.pntic.mec.es.
5. Algèbre linéaire et géométrie (2010/2011). Systèmes d'équations linéaires. Chapitre 1. Département d'Algèbre. Université de Séville. Espagne. Récupéré de algebra.us.es.